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22.1 Introducción a los métodos numéricos | ||
22.2 Series de Fourier | ||
22.3 Funciones y variables para los métodos numéricos | ||
22.4 Funciones y variables para las series de Fourier |
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El paquete fft
contiene funciones para el cálculo numérico (no simbólico) de la transformada rápida de Fourier. La instrucción load ("fft")
carga el paquete. Véase fft
.
El paquete fourie
contiene funciones para el cálculo simbólico de series de Fourier. La instrucción
load ("fourie")
carga el paquete. Hay funciones en el paquete fourie
para calcular los coeficientes de Fourier y para la transformación de expresiones. Véase Funciones y variables para las series de Fourier
.
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Transforma valores complejos de la forma r %e^(%i t)
a la forma
a + b %i
, siendo r el módulo y t la fase.
Ambos valores r y t son arrays unidimensionales cuyos
tamños son iguales a la misma potencia de dos.
Los valores originales de los arrays de entrada son reemplazados por
las partes real e imaginaria, a
y b
, de los correspondientes
números complejos. El resultado se calcula como
a = r cos(t) b = r sin(t)
polartorect
es la función inversa de recttopolar
.
Para utilizar esta función ejecútese antes load(fft)
.
Véase también fft
.
Transforma valores complejos de la forma a + b %i
a la forma
r %e^(%i t)
, siendo a la parte real y a la imaginaria.
Ambos valores a y b son arrays unidimensionales cuyos
tamños son iguales a la misma potencia de dos.
Los valores originales de los arrays de entrada son reemplazados por
los módulos y las fases, r
y t
, de los correspondientes
números complejos. El resultado se calcula como
r = sqrt(a^2 + b^2) t = atan2(b, a)
El ángulo calculado pertence al rango de -%pi
a %pi
.
recttopolar
es la función inversa de polartorect
.
Para utilizar esta función ejecútese antes load(fft)
.
Véase también fft
.
Calcula la transformada inversa rápida de Fourier.
y es una lista o array (declarado o no) que contiene los datos a
transformar. El número de elementos debe ser una potencia de dos.
Los elementos deben ser números literales (enteros, racionales,
de punto flotante o decimales grandes), constantes simbólicas,
expresiones del tipo a + b*%i
, siendo a
y b
números literales, o constantes simbólicas.
La función inverse_fft
devuelve un nuevo objeto del
mismo tipo que y, el cual no se ve modificado. Los
resultados se calculan siempre como decimales o expresiones a + b*%i
,
siendo a
y b
decimales.
La transformada inversa discreta de Fourier se define como se indica
a continuación. Si x
es el resultado de la transformada inversa,
entonces para j
entre 0 y n - 1
se tiene
x[j] = sum(y[k] exp(+2 %i %pi j k / n), k, 0, n - 1)
Para utilizar esta función ejecútese antes load(fft)
.
Véanse también fft
(transformada directa), recttopolar
y polartorect
.
Ejemplos:
Datos reales.
(%i1) load (fft) $ (%i2) fpprintprec : 4 $ (%i3) L : [1, 2, 3, 4, -1, -2, -3, -4] $ (%i4) L1 : inverse_fft (L); (%o4) [0.0, 14.49 %i - .8284, 0.0, 2.485 %i + 4.828, 0.0, 4.828 - 2.485 %i, 0.0, - 14.49 %i - .8284] (%i5) L2 : fft (L1); (%o5) [1.0, 2.0 - 2.168L-19 %i, 3.0 - 7.525L-20 %i, 4.0 - 4.256L-19 %i, - 1.0, 2.168L-19 %i - 2.0, 7.525L-20 %i - 3.0, 4.256L-19 %i - 4.0] (%i6) lmax (abs (L2 - L)); (%o6) 3.545L-16
Datos complejos.
(%i1) load (fft) $ (%i2) fpprintprec : 4 $ (%i3) L : [1, 1 + %i, 1 - %i, -1, -1, 1 - %i, 1 + %i, 1] $ (%i4) L1 : inverse_fft (L); (%o4) [4.0, 2.711L-19 %i + 4.0, 2.0 %i - 2.0, - 2.828 %i - 2.828, 0.0, 5.421L-20 %i + 4.0, - 2.0 %i - 2.0, 2.828 %i + 2.828] (%i5) L2 : fft (L1); (%o5) [4.066E-20 %i + 1.0, 1.0 %i + 1.0, 1.0 - 1.0 %i, 1.55L-19 %i - 1.0, - 4.066E-20 %i - 1.0, 1.0 - 1.0 %i, 1.0 %i + 1.0, 1.0 - 7.368L-20 %i] (%i6) lmax (abs (L2 - L)); (%o6) 6.841L-17
Calcula la transformada rápida compleja de Fourier.
x es una lista o array (declarado o no) que contiene los datos a
transformar. El número de elementos debe ser una potencia de dos.
Los elementos deben ser números literales (enteros, racionales,
de punto flotante o decimales grandes), constantes simbólicas,
expresiones del tipo a + b*%i
, siendo a
y b
números literales, o constantes simbólicas.
La función fft
devuelve un nuevo objeto del
mismo tipo que x, el cual no se ve modificado. Los
resultados se calculan siempre como decimales o expresiones a + b*%i
,
siendo a
y b
decimales.
La transformada discreta de Fourier se define como se indica
a continuación. Si y
es el resultado de la transformada inversa,
entonces para k
entre 0 y n - 1
se tiene
y[k] = (1/n) sum(x[j] exp(-2 %i %pi j k / n), j, 0, n - 1)
Si los datos x son reales, los coeficientes reales a
y b
se pueden calcular de manera que
x[j] = sum (a[k] * cos (2*%pi*j*k / n) + b[k] * sin (2*%pi*j*k / n), k, 0, n/2)
con
a[0] = realpart (y[0]) b[0] = 0
y, para k entre 1 y n/2 - 1,
a[k] = realpart (y[k] + y[n - k]) b[k] = imagpart (y[n - k] - y[k])
y
a[n/2] = realpart (y[n/2]) b[n/2] = 0
Para utilizar esta función ejecútese antes load(fft)
.
Véanse también inverse_fft
(transformada inversa), recttopolar
y polartorect
.
Ejemplos:
Datos reales.
(%i1) load (fft) $ (%i2) fpprintprec : 4 $ (%i3) L : [1, 2, 3, 4, -1, -2, -3, -4] $ (%i4) L1 : fft (L); (%o4) [0.0, - 1.811 %i - .1036, 0.0, .6036 - .3107 %i, 0.0, .3107 %i + .6036, 0.0, 1.811 %i - .1036] (%i5) L2 : inverse_fft (L1); (%o5) [1.0, 2.168L-19 %i + 2.0, 7.525L-20 %i + 3.0, 4.256L-19 %i + 4.0, - 1.0, - 2.168L-19 %i - 2.0, - 7.525L-20 %i - 3.0, - 4.256L-19 %i - 4.0] (%i6) lmax (abs (L2 - L)); (%o6) 3.545L-16
Datos complejos.
(%i1) load (fft) $ (%i2) fpprintprec : 4 $ (%i3) L : [1, 1 + %i, 1 - %i, -1, -1, 1 - %i, 1 + %i, 1] $ (%i4) L1 : fft (L); (%o4) [0.5, .3536 %i + .3536, - 0.25 %i - 0.25, 0.5 - 6.776L-21 %i, 0.0, - .3536 %i - .3536, 0.25 %i - 0.25, 0.5 - 3.388L-20 %i] (%i5) L2 : inverse_fft (L1); (%o5) [1.0 - 4.066E-20 %i, 1.0 %i + 1.0, 1.0 - 1.0 %i, - 1.008L-19 %i - 1.0, 4.066E-20 %i - 1.0, 1.0 - 1.0 %i, 1.0 %i + 1.0, 1.947L-20 %i + 1.0] (%i6) lmax (abs (L2 - L)); (%o6) 6.83L-17
Cálculo de los coeficientes del seno y coseno.
(%i1) load (fft) $ (%i2) fpprintprec : 4 $ (%i3) L : [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8] $ (%i4) n : length (L) $ (%i5) x : make_array (any, n) $ (%i6) fillarray (x, L) $ (%i7) y : fft (x) $ (%i8) a : make_array (any, n/2 + 1) $ (%i9) b : make_array (any, n/2 + 1) $ (%i10) a[0] : realpart (y[0]) $ (%i11) b[0] : 0 $ (%i12) for k : 1 thru n/2 - 1 do (a[k] : realpart (y[k] + y[n - k]), b[k] : imagpart (y[n - k] - y[k])); (%o12) done (%i13) a[n/2] : y[n/2] $ (%i14) b[n/2] : 0 $ (%i15) listarray (a); (%o15) [4.5, - 1.0, - 1.0, - 1.0, - 0.5] (%i16) listarray (b); (%o16) [0, - 2.414, - 1.0, - .4142, 0] (%i17) f(j) := sum (a[k] * cos (2*%pi*j*k / n) + b[k] * sin (2*%pi*j*k / n), k, 0, n/2) $ (%i18) makelist (float (f (j)), j, 0, n - 1); (%o18) [1.0, 2.0, 3.0, 4.0, 5.0, 6.0, 7.0, 8.0]
Valor por defecto: 0
La variable fortindent
controla el margen izquierdo de las expresiones que escribe la instrucción fortran
. El valor 0 escribe con un margen normal de 6 espacios; valores positivos harán que las expresiones se escriban más a la derecha.
Escribe expr en código Fortran. La salida se escribe con márgenes, y si ésta es demasiado larga fortran
sigue escribiendo en líneas sucesivas. La función fortran
escribe el operador de exponenciación ^
como **
, e imprime un número complejo a + b %i
como (a,b)
.
El argumento expr puede ser una ecuación. En tal caso, fortran
escribe una sentencia de asignación, dándole el valor del miembro derecho de la expresión al miembro izquierdo. En particular, si el miembro derecho de expr es el nombre de una matriz, entonces fortran
escribe una sentencia de asignación para cada elemento de la matriz.
Si expr no es reconozida por fortran
, la expresión se escribe en formato grind
sin avisos. La función fortran
no reconoce listas, arreglos ni funciones.
La variable fortindent
controla el margen izquierdo de las expresiones que escribe la instrucción fortran
. El valor 0 escribe con un margen normal de 6 espacios; valores positivos harán que las expresiones se escriban más a la derecha.
Si fortspaces
vale true
, fortran
rellena las líneas con espacios de 80 columnas.
La función fortran
evalúa sus argumentos; un argumento precedido de apóstrofo previene de la evaluación.
La función fortran
siempre devuelve done
.
Ejemplos:
(%i1) expr: (a + b)^12$ (%i2) fortran (expr); (b+a)**12 (%o2) done (%i3) fortran ('x=expr); x = (b+a)**12 (%o3) done (%i4) fortran ('x=expand (expr)); x = b**12+12*a*b**11+66*a**2*b**10+220*a**3*b**9+495*a**4*b**8+792 1 *a**5*b**7+924*a**6*b**6+792*a**7*b**5+495*a**8*b**4+220*a**9*b 2 **3+66*a**10*b**2+12*a**11*b+a**12 (%o4) done (%i5) fortran ('x=7+5*%i); x = (7,5) (%o5) done (%i6) fortran ('x=[1,2,3,4]); x = [1,2,3,4] (%o6) done (%i7) f(x) := x^2$ (%i8) fortran (f); f (%o8) done
Valor por defecto: false
Si fortspaces
vale true
, fortran
rellena las líneas con espacios de 80 columnas.
Cambia el formato de expr según la regla de Horner utilizando x como variable principal, si ésta se especifica. El argumento x
se puede omitir, en cuyo caso se considerará como variable principal la de expr en su formato racional canónico (CRE).
La función horner
puede mejorar las estabilidad si expr
va a ser numéricamente evaluada. También es útil si Maxima se utiliza para generar programas que serán ejecutados en Fortran. Véase también stringout
.
(%i1) expr: 1e-155*x^2 - 5.5*x + 5.2e155; 2 (%o1) 1.0E-155 x - 5.5 x + 5.2E+155 (%i2) expr2: horner (%, x), keepfloat: true; (%o2) (1.0E-155 x - 5.5) x + 5.2E+155 (%i3) ev (expr, x=1e155); Maxima encountered a Lisp error: floating point overflow Automatically continuing. To reenable the Lisp debugger set *debugger-hook* to nil. (%i4) ev (expr2, x=1e155); (%o4) 7.0E+154
Calcula una raíz de la expresión expr o de
la función f en el intervalo cerrado [a, b].
La expresión expr puede ser una ecuación, en cuyo caso
find_root
busca una raíz de
lhs(expr) - rhs(expr)
.
Dado que Maxima puede evaluar expr o f en
[a, b], entonces, si expr o f es
continua, find_root
encuentrará la raíz
buscada, o raíces, en caso de existir varias.
La función find_root
aplica al principio la
búsqueda por bipartición. Si la expresión es lo suficientemente
suave, entonces find_root
aplicará el método
de interpolación lineal.
bf_find_root
es una versión de find_root
para números
reales de precisión arbitraria (bigfloat). La función se
evalúa utilizando la aritmética de estos números, devolviendo
un resultado numérico de este tipo. En cualquier otro aspecto,
bf_find_root
es idéntica a find_root
, siendo la
explicación que sigue igualmente válida para bf_find_root
.
La precisión de find_root
está controlada por abserr
y
relerr
, que son claves opcionales para find_root
.
Estas claves toman la forma key=val
. Las claves disponibles son:
Error absoluto deseado de la función en la raíz. El
valor por defecto es find_root_abs
.
Error relativo deseado de la raíz. El valor por defecto
es find_root_rel
.
find_root
se detiene cuando la función alcanza un valor menor o
igual que abserr
, o si las sucesivas aproximaciones x_0, x_1
difieren en no más que relerr * max(abs(x_0), abs(x_1))
. Los
valores por defecto de find_root_abs
y find_root_rel
son
ambos cero.
find_root
espera que la función en cuestión tenga signos
diferentes en los extremos del intervalo.
Si la función toma valores numéricos en ambos extremos y estos
números son del mismo signo, entonces
el comportamiento de find_root
se controla con find_root_error
.
Cuando find_root_error
vale true
, find_root
devuelve un mensaje de error; en caso contrario, find_root
devuelve el valor de find_root_error
. El valor por defecto
de find_root_error
es true
.
Si en algún momento del proceso de búsqueda f alcanza un valor
no numérico, find_root
devuelve una expresión parcialmente evaluada.
Se ignora el orden de a y b; la región de búsqueda es [min(a, b), max(a, b)].
Ejemplos:
(%i1) f(x) := sin(x) - x/2; x (%o1) f(x) := sin(x) - - 2 (%i2) find_root (sin(x) - x/2, x, 0.1, %pi); (%o2) 1.895494267033981 (%i3) find_root (sin(x) = x/2, x, 0.1, %pi); (%o3) 1.895494267033981 (%i4) find_root (f(x), x, 0.1, %pi); (%o4) 1.895494267033981 (%i5) find_root (f, 0.1, %pi); (%o5) 1.895494267033981 (%i6) find_root (exp(x) = y, x, 0, 100); x (%o6) find_root(%e = y, x, 0.0, 100.0) (%i7) find_root (exp(x) = y, x, 0, 100), y = 10; (%o7) 2.302585092994046 (%i8) log (10.0); (%o8) 2.302585092994046 (%i9) fpprec:32; (%o9) 32 (%i10) bf_find_root (exp(x) = y, x, 0, 100), y = 10; (%o10) 2.3025850929940456840179914546844b0 (%i11) log(10b0); (%o11) 2.3025850929940456840179914546844b0
Devuelve una solución aproximada de expr = 0
obtenida
por el método de Newton, considerando expr como una función
de una variable, x.
La búsqueda comienza con x = x_0
y continúa
hasta que se verifique abs(expr) < eps
, donde
expr se evalúa con el valor actual de x.
La función newton
permite que en expr haya variables
no definidas, siempre y cuando la condición de terminación
abs(expr) < eps
pueda reducirse a un valor
lógico true
o false
; de este modo, no es necesario
que expr tome un valor numérico.
Ejecútese load(newton1)
para cargar esta función.
Véanse también realroots
, allroots
, find_root
y mnewton
.
Ejemplos:
(%i1) load (newton1); (%o1) /usr/share/maxima/5.10.0cvs/share/numeric/newton1.mac (%i2) newton (cos (u), u, 1, 1/100); (%o2) 1.570675277161251 (%i3) ev (cos (u), u = %); (%o3) 1.2104963335033528E-4 (%i4) assume (a > 0); (%o4) [a > 0] (%i5) newton (x^2 - a^2, x, a/2, a^2/100); (%o5) 1.00030487804878 a (%i6) ev (x^2 - a^2, x = %); 2 (%o6) 6.098490481853958E-4 a
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Devuelve true
si equal (x, y)
, en otro caso devuelve false
. No devuelve el mensaje de error que se obtiene de equal (x, y)
en un caso como éste.
La llamada remfun (f, expr)
reemplaza todas las subexpresiones f (arg)
por arg en expr.
La llamada remfun (f, expr, x)
reemplaza todas las subexpresiones f (arg)
por arg en expr sólo si arg contiene a la variable x.
La llamada funp (f, expr)
devuelve true
si expr contiene la función f.
La llamada funp (f, expr, x)
devuelve true
si expr contiene la función f y la variable x está presente en el argumento de alguna de las presencias de f.
La llamada absint (f, x, halfplane)
devuelve la integral indefinida de f con respecto a
x en el semiplano dado (pos
, neg
o both
). La función f puede contener expresiones de la forma abs (x)
, abs (sin (x))
, abs (a) * exp (-abs (b) * abs (x))
.
La llamada absint (f, x)
equivale a absint (f, x, pos)
.
La llamada absint (f, x, a, b)
devuelve la integral definida de f con respecto a x de a a b.
Devuelve una lista con los coeficientes de Fourier de
f(x)
definida en el intervalo [-p, p]
.
Simplifica sin (n %pi)
a 0 si sinnpiflag
vale true
y
cos (n %pi)
a (-1)^n
si cosnpiflag
vale true
.
Valor por defecto: true
Véase foursimp
.
Valor por defecto: true
Véase foursimp
.
Calcula y devuelve la serie de Fourier a partir de la lista de los coeficientes de Fourier l hasta el término limit (limit puede ser inf
). Los argumentos x y p tienen el mismo significado que en
fourier
.
Devuelve los coeficientes de los cosenos de Fourier de f(x)
definida en [0, p]
.
Devuelve los coeficientes de los senos de Fourier de f(x)
definida en [0, p]
.
Devuelve fourexpand (foursimp (fourier (f, x, p)), x, p, 'inf)
.
Calcula y devuelve la lista de los coeficientes integrales de Fourier de f(x)
definida en [minf, inf]
.
Devuelve los coeficientes integrales de los cosenos f(x)
en [0, inf]
.
Devuelve los coeficientes integrales de los senos f(x)
en [0, inf]
.
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